Свою первую гонку «Формулы-1» Попов впервые увидел в 1988 году в Бельгии — его дед работал в торгпредстве СССР. Карьеру журналиста начал в 1991 году в газете «Спорт-Экспресс». Первая статья вышла про Гран-при Бельгии. В дальнейшем писал для многих изданий, в том числе для журналов «Формула+», «Автоспорт», «Гран-при», «F1Life», газеты «Советский спорт».

Комментировать гонки начал в 1992 году на телеканале «РТР». Первая гонка — Гран-при Испании. В том же году стал сотрудником фирмы «Samipa» (Монако), которой принадлежали телевизионные права на трансляцию гонок «Формулы-1» на территории России. Затем переехал в Монако, где делал передачу «Хроно». В это время он комментировал на французском телеканале «AB Moteurs» гонки CART и NASCAR. С 1996 года вновь стал работать на российском телевидении.

Номинировался в 2000-м году на премию «ТЭФИ», но уступил её Владимиру Маслаченко.

В 2002 году вернулся из Монако обратно в Москву. С июня 2003 по декабрь 2005 года работал на телеканале «Спорт» комментатором трансляций гонок Формулы-1 и ведущим выпусков новостей «Вести-Спорт». В 2005, 2009 и 2011—2012 годах вёл на том же телеканале программу «Гран-при с Алексеем Поповым».

В 2006 году комментировал «Формулу-1» на телеканале «РЕН ТВ». С февраля 2007 по октябрь 2015 года снова работал комментатором и ведущим на телеканале «Спорт» (впоследствии — «Россия-2»), так как канал «РЕН ТВ» отказался продлевать с ним контракт.

С февраля 2007 по май 2013 года — постоянный ведущий передачи «Неделя спорта» на телеканале «Спорт», позднее — «Россия-2», вёл её поочередно с Дмитрием Губерниевым. С 2013 по 2015 год регулярно вёл программу «Задай вопрос министру». Комментировал гонки Мировой серии «Рено», международные регбийные матчи, иногда — биатлонные гонки на том же телеканале.

Попова часто называют «российским голосом „Формулы-1“» из-за фразы, с которой он начинает свои репортажи. Хотя по признанию самого комментатора, на самом деле эти слова относятся к телеканалу, на котором идут трансляции.

С 1 ноября 2015 года работает на телеканале «Матч ТВ». Комментатор «Формулы-1», в 2012—2015 и с конца 2016 года комментирует совместно с Натальей Фабричновой. В 2016 году на канале «Матч! Арена» совместно с Владимиром Башмаковым комментировал отдельные этапы серии IndyCar, с 2018 — NASCAR. Ведущий и корреспондент шоу «Все на матч!».

В разной степени владеет многими европейскими языками: французским, итальянским, испанским, португальским, английским и другими.